Temat: Zadanie

Hej Eksperci Statystykowi:),

Mam pytanie czy ktoś mógłby mi napisać jak mogę rozwiązać to jedno zadanie, jeśli tak to wielkie dzięki,

Pozdrawiam serdecznie

Ania


Zadanie Statystyka

Porównano stopy zwrotu z wybranego funduszu akcji z indeksem giełdowym, który stanowi benchmark dla tego funduszu. Podstawę porównania stanowiły miesięczne stopy zwrotu z ostatnich dziesięciu lat.
Średnia miesięczna stopa zwrotu tego funduszu wynosiła 0.7% z odchylenie standardowym 6%.
W skali miesiąca stopa zwrotu funduszu była średnio niższa o 0.2% od stopy zwrotu z indeksu a odchylenie standardowe różnicy stóp zwrotu ( fundusz minus benchmark) wyniosło w skali miesiąca 1%.
Korelacja stóp zwrotu funduszu i benchmarku wynosi 0.85.

Proszę podać przedział w którym przy założeniu normalności rozkładu stóp zwrotu funduszu, z prawdopodobieństwem równym 88% znajdują się: miesięczna stopa zwrotu funduszu oraz średnia miesięczna stopa zwrotu funduszu.

Czy, przy poziomie istotności 0,07 i założeniu normalności rozkładu różnicy stóp zwrotu można stwierdzić, że fundusz średnio osiąga stopy zwrotu niższe od benchmarku?

Przy jakim poziomie istotności należałoby zmienić wnioski?

Temat: Zadanie

Przepraszam za trochę późną odpowiedź, ale dopiero teraz zobaczyłem to zadanie...
Punkt 1) (umownie) można rozwikłać tak:
szukamy 88% przedziału ufności dla zmiennych o rozkładzie normalnym. Z tablic można przeczytać, że dla U o rozkładzie standardowym normalnym 88% przedział ufności to w przybliżeniu [-1,55; 1,55].
Nasza zmienna X (stopy zwrotu z funduszu) ma rozkład N(0,7%; (6%)^2). Ponieważ z 88% prawdopodobieństwem będzie się odchylała do swojej średniej o nie więcej niż 1,55 odchylenia standardowego to szukany przedział ufności będzie postaci [0,7% - 1,55*6%; 0,7% + 1,55*6%] czyli około [-8,6% ; 10%].
Dla średniej można tak samo, z tym że odchylenie standardowe dla rozkłądu średniej to 6%/sq(120) (6% podzielić przez pierwiastek ze 120, bo mamy 120 obserwacji), czyli mniej więcej 0,55%.
Czyli szukany przedział ufności dla średniej będzie postaci [-0,15%; 1,55%]- średnia ze stóp zwrotu odchyla się od swojej średniej (0,7%) o nie więcej niż 1,55 odchylenia standardowego (około 0,85%).

Dla punktu 2) trochę trudniej, ale generalnie żeby zbadać czy te średnie są statystycznie różne musimy znać wariancje zarówno dla stóp zwrotu funduszu (już znamy) jak i indeksu (na razie nie znamy). Aby tę drugą wartość poznać można skorzystać z tego, że:
Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y)
a Cov(X,Y) = Corr(X,Y)/ sq(se(X)*se(Y))
gdzie se(x), se(Y) to odchylenia st. dla zmiennej X i Y.
X i Y oznaczają oczywiście w tym przypadku nasze stopy zwrotu.
Jak się podstawi wartości to równanie to rozwiązać dla wariancji stóp zwrotu z indeksu, a potem skorzystać z testu np. t-studenta postaci:
t = (średnia(X) - średnia (Y)) / sq(Var(X)/120 + Var(Y)/120).

Wiemy, że licznik będzie równy 0,2% także brakuje nam tylko właśnie Var(Y). Przepraszam, że nie liczę dokładnie 2), ale tam chyba wychodzi równanie 4 stopnia i w niedzielny poranek już nie zdobędę raczej energii na takie "wyzwania". Może ktoś z matematyków mógłby pomóc...