Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Grzegorz Melniczak:
Kroki może i będą poprawne matematycznie, ale jak już było wspomniane należy zwracać uwagę na założenia które się czyni po drodze. Na przykład rozważmy następujące równanie z ciągiem przekształceń

exp(ix) = -1     / ^2

exp(2ix) = 1

exp(2ix) = exp(0)

2ix = 0

x = 0

ale po podstawieniu dostajemy

exp(i*0) = 1 = -1

Problem polega na tym, że błędnie się ograniczyliśmy do przestrzeni rzeczywistej - exp(x) jest funkcją okresową na płaszczyźnie zespolonej z okresem 2i*pi, więc tak naprawdę powinniśmy dostać

x = pi + 2k*pi, gdzie k jest całkowite

No i jest jeszcze jeden powod - nie wszystkie te rownania sa rownowazne.
Z (1) wynika (2), ale w druga strone to nie dziala, dlateo nie mozesz z powrotem podstawic x=0. Podobnie - jak to zreszta napisales - z (4) tylko wynika (3).

A tak poza tym to - wracajac do mojego tropu - patrzylem jak ciagi rekurencyjne w/w postaci zachowuja sie w zaleznosci od warunku poczatkowego i pojawilo mi sie pytanie, na ktore chyba znam odpowiedz, ale ciezko mi to uzasadnic (nie liczac symulacji na kompie).

Pytanie - jak zmienia sie liczba punktow skupienia (i ile one wynosza) ciagu
x(n+1)= x(n)^2 / 3 - 10/3, gdzie x(0)=t,
w zaleznosci od poczatkowego rzeczywistego t?

Ma ktos pomysl?

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Krzysztof Łatuszyński:
to nie jest poprawne rozwiazanie:

jak sie odejmuje rownanie (2) od rownania (1), to trzeba w ukladzie zostawic rownanie (2) albo (1).

Można przepisywać za każdym razem np. drugie równanie, i tak z równania

(a−1)^2+(b−2)^2+(c−4)^2 =0

Wychodzi jedyna rzeczywista trójka, która przy sprawdzeniu okazuje się nie spełniać układu.

Z drugiej strony, nie wyobrażam sobie przed przystąpieniem do tego zadania, wykazać nieistnienie jego rozwiązań, inaczej niż rozwiązanie go i sprawdzenie...

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Rafał Balcerski:

Krzysztof Łatuszyński:
to nie jest poprawne rozwiazanie:

jak sie odejmuje rownanie (2) od rownania (1), to trzeba w ukladzie zostawic rownanie (2) albo (1).

Można przepisywać za każdym razem np. drugie równanie, i tak z równania

(a−1)^2+(b−2)^2+(c−4)^2 =0

Wychodzi jedyna rzeczywista trójka, która przy sprawdzeniu okazuje się nie spełniać układu.

Z drugiej strony, nie wyobrażam sobie przed przystąpieniem do tego zadania, wykazać nieistnienie jego rozwiązań, inaczej niż rozwiązanie go i sprawdzenie...

Twoje rozumowanie jest błędne. Nie jest znajdowane tutaj "rozwiązanie", tylko zbiór rozwiązań jednego z równań układu.

Rozwiązanie układu równań jest równoważne ze znalezieniem zbioru rozwiązań każdego równania oddzielnie i następnie wzięcie przekroju tych wszystkich zbiorów - i tak właśnie postąpiono w tym przykładzie - najpierw znaleziono zbiór rozwiązań pierwszego równania (po pewnych przekształceniach), który okazał się jednoelementowy, a następnie sprawdzono czy należy ono do zbioru rozwiązań drugiego równania. Przekrój okazał się pusty zatem rozpatrywany układ nie ma rozwiązania.Grzegorz Melniczak edytował(a) ten post dnia 18.05.10 o godzinie 10:40

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

No tak... nie ma to jak przypomnieć sobie podstawy rozwiązywania układów równań :)

Przeczytałem jeszcze raz wypowiedzi w tym wątku i teraz też wydaje mi się, że nie ma takiego przykładu... w każdym razie, jeśli wpadnie mi w ręce ta zapomniana książka, zacytuję tu przykład, o którym mówiłem.Rafał Balcerski edytował(a) ten post dnia 19.05.10 o godzinie 08:13

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Przypominam, że chodzi mi o zadanie matematyczne na jak najniższym poziomie, w którym sęk tkwi w sprawdzeniu istnienia rozwiązania:

Jeśli zaczniemy szukać rozwiązania, przeprowadzimy wszystkie kroki rozumowania prawidłowo i o niczym nie zapomnimy, dostaniemy rozwiązanie, które jednak przy sprawdzeniu okaże się błędne.

Natomiast jeśli przed przystąpieniem do szukania rozwiązania, zbadamy jego istnienie, dojdziemy do wniosku, że rozwiązanie nie istnieje i że w związku z tym nie ma sensu go szukać.

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Rafał Balcerski:

[...]

Jeśli zaczniemy szukać rozwiązania, przeprowadzimy wszystkie kroki rozumowania prawidłowo i o niczym nie zapomnimy, dostaniemy rozwiązanie, które jednak przy sprawdzeniu okaże się błędne.

[...]
Matematyczne perpetuum mobile?

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Wpadło mi do głowy pewne zadanie.
Przykładem o jaki chodzi autorowi tematu może być wyliczanie wartości oczekiwanej zmiennej o rozkładzie Cauchy'ego.

Jeśli liczymy całkę po zbiorze liczb rzeczywistych z x*g(x) (gdzie g(x) jest gęstością zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy'ego) to mamy funkcję nieparzystą i całka wynosi 0.
Ale jeśli chcemy sprawdzić czy EX dla tego rozkładu istnieje to liczymy całkę
|x|*g(x) która nie istnieje (jest rozbieżna).

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Wojciech Peplak:
Jeśli liczymy całkę po zbiorze liczb rzeczywistych z x*g(x) (gdzie g(x) jest gęstością zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy'ego) to mamy funkcję nieparzystą i całka wynosi 0.
Ale jeśli chcemy sprawdzić czy EX dla tego rozkładu istnieje to liczymy całkę
|x|*g(x) która nie istnieje (jest rozbieżna).

Właśnie. Tu jest problem z pomyleniem dwóch definicji całek: niewłaściwa (jako uogólnienie Riemanna) oraz Lebesgue'a.
Jak przy całkach, to przypomniał mi się przykład ze studiów (tu cały czas mamy całki względem miary):
funkcja na R^2, w pasie między y=x-1 i y=x równa -1, między y=x i y=x+1 równa 1, poza tym 0. Nie jest całkowalna (bo całka z części dodatniej oraz ujemnej jest nieskończona). Natomiast obie całki iterowane (czyli po x, potem po y lub odwrotnie) dają 0 :).

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Tomasz S.:

Wojciech Peplak:
Jeśli liczymy całkę po zbiorze liczb rzeczywistych z x*g(x) (gdzie g(x) jest gęstością zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy'ego) to mamy funkcję nieparzystą i całka wynosi 0.
Ale jeśli chcemy sprawdzić czy EX dla tego rozkładu istnieje to liczymy całkę
|x|*g(x) która nie istnieje (jest rozbieżna).

Właśnie. Tu jest problem z pomyleniem dwóch definicji całek: niewłaściwa (jako uogólnienie Riemanna) oraz Lebesgue'a.
Jak przy całkach, to przypomniał mi się przykład ze studiów (tu cały czas mamy całki względem miary):
funkcja na R^2, w pasie między y=x-1 i y=x równa -1, między y=x i y=x+1 równa 1, poza tym 0. Nie jest całkowalna (bo całka z części dodatniej oraz ujemnej jest nieskończona). Natomiast obie całki iterowane (czyli po x, potem po y lub odwrotnie) dają 0 :).

Nie zgadzam sie, bo rozwiazanie rownania w duchu pierwszego postu to jest znalezienie ciagu przeksztalcen rownowaznych.

Tymczasem Panowie w obu przypadkach ZGADUJA rozwiazanie, a potem z zalem stwierdzaja, ze ten kandydat na rozwiazanie nie jest rozwiazaniem ;)

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Krzysztof Łatuszyński:
Nie zgadzam sie, bo rozwiazanie rownania w duchu pierwszego postu to jest znalezienie ciagu przeksztalcen rownowaznych.

Cześć :). Jak są równoważne to zachowują zbiór rozwiązań, więc takiego przykładu nie ma. Gdzieś musi być błąd, w naszych przykładach akurat na początku (zastąpienie zadania innym, nierównoważnym)

Tymczasem Panowie w obu przypadkach ZGADUJA rozwiazanie, a potem z zalem stwierdzaja, ze ten kandydat na rozwiazanie nie jest rozwiazaniem ;)

To trzeba skomplikować, żeby całek nie dało się zgadnąć :).

Wojciech B.:
A bardziej na temat: log (1-x) - log (x-1) = 100

Różnica logarytmów to logarytm ilorazu, więc:
log[(1-x)/(x-1)]=100
log[-(1-x)/(1-x)]=100
Dla x<>1 jest log(-1)=100 - sprzeczność. Dla x=1 dostaję symbol nieoznaczony. Nie mam wyniku.
(PS. Ok, wiem, można inaczej liczyć ;). Ale jednak lepsze byłby przykład gdzie jest jeden sposób rozwiązania, pomyślę nad takim)