GoldenLine
Zaloguj się
Rafał B.

Rafał B. dziś rano pani w
piekarni miała
wypieki na twarzy

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Witam,

Kiedyś, gdzieś, w jakimś podręczniku, widziałem przykład zadania (może to było równanie, albo układ równań?), które zostało rozwiązane przez autora zgodnie z wszelkimi zasadami matematyki, a mimo to przy sprawdzeniu wyszły głupoty. Błędem okazało się niesprawdzenie, czy rozwiązanie w ogóle istnieje, a wnioskiem, że przez rozpoczęciem szukania rozwiązania warto udowodnić, że ono istnieje.

Szukam takich przykładów, najchętniej nie angażujących skomplikowanego aparatu matematycznego - żeby można było podać taki przykład komuś, kto nie studiował matematyki :)
Link do wypowiedziLink
Michał Kaśkosz

Michał Kaśkosz Design Engineer ZF

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Szukam takich przykładów, najchętniej nie angażujących skomplikowanego aparatu matematycznego - żeby można było podać taki przykład komuś, kto nie studiował matematyki :)

Moja wiedza matematyczna jest niewielka ale, czy chodzi ci o przypadek kiedy nie ma rozwiązania ( na razie nic mi nie przychodzi do głowy) czy też jest wiele możliwych rozwiązań, na to jest szkolny przykład tylko jedno równanie z dwoma niewiadomymi, może mieć wiele rozwiązań.
Link do wypowiedziLink
Grzegorz Melniczak

Grzegorz Melniczak Have you tried
turning it off and
on again?

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Może rozpatrz równanie diofantyczne
ax+by=c
Wówczas rozwiązanie istnieje wtwg
NWD(a,b)|c
Link do wypowiedziLink
Rafał B.

Rafał B. dziś rano pani w
piekarni miała
wypieki na twarzy

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Michał Kaśkosz:
Moja wiedza matematyczna jest niewielka ale, czy chodzi ci o przypadek kiedy nie ma rozwiązania ( na razie nic mi nie przychodzi do głowy) czy też jest wiele możliwych rozwiązań, na to jest szkolny przykład tylko jedno równanie z dwoma niewiadomymi, może mieć wiele rozwiązań.

Chodzi o przypadek równania/układu równań, kiedy nie ma rozwiązania. Ktoś zacznie szukać i znajdzie, ale przy sprawdzeniu wyjdą głupoty.

Pamiętam, że autor przykładu, który widziałem, zaskoczył mnie jego prostotą - nie musiał powoływać się w nim na zaawansowany aparat matematyczny. To zdaje się był przykład nawet na poziomie szkoły średniej.

Niestety to było ładnych parę lat temu i niestety nie zapamiętałem :(
Link do wypowiedziLink
Grzegorz Melniczak

Grzegorz Melniczak Have you tried
turning it off and
on again?

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Rafał Balcerski:

Chodzi o przypadek równania/układu równań, kiedy nie ma rozwiązania. Ktoś zacznie szukać i znajdzie, ale przy sprawdzeniu wyjdą głupoty.

Co to niby znaczy? Jeżeli znajdzie się rozwiązanie to znaczy, że jest ono poprawne. W innym przypadku dostaniemy po prostu WYNIK. Jeżeli po podstawieniu okaże się, że nie spełnia postawionych warunków to oznacza, że popełniamy błąd gdzieś "po drodze", np. błąd rachunkowy albo złe założenia metodologiczne.
Link do wypowiedziLink
Michał Kaśkosz

Michał Kaśkosz Design Engineer ZF

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Cześć,

może koledze chodzi o sofizmat matematyczny, ale w tym wypadku mamy do czynienia ze świadomym działanie mającym na celu wprowadzić w błąd przeciwnika w dyskusji.

Patrz: http://pl.wikipedia.org/wiki/SofizmatMichał Kaśkosz edytował(a) ten post dnia 12.05.10 o godzinie 13:16
Link do wypowiedziLink
Grzegorz Melniczak

Grzegorz Melniczak Have you tried
turning it off and
on again?

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Tylko, że zadanie o którym tu mowa pochodzi podobno z podręcznika, więc mało prawdopodobne by był to sofizmat (chyba, że to podręcznik do logiki, i rozdział o sofistach;) ).
Ale można podejść do dyskusji z innej strony: celem jak rozumiem jest pokazanie komuś, że warto sprawdzić istnienie rozwiązania zanim się zacznie rozwiązywać, zatem można poszukać zadania które ma zerową liczbę rozwiązań takiego, że:

1) łatwo pokazać istnienie braku rozwiązań
2) próba znalezienia rozwiązania wiąże się ze żmudnymi przeliczeniami na kilka stron:) i oczywiście kończymy z tym samym wnioskiem co w (1)

G.Grzegorz Melniczak edytował(a) ten post dnia 12.05.10 o godzinie 14:07
Link do wypowiedziLink
Krzysztof Łatuszyński

Krzysztof Łatuszyński probabilista,
statystyk

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Tam pewnie bylo jakies dzielenie przez 0, np w trakcie rozwiazywania dzielio sie przez x-y, tymczasem skadinand wynikalo, ze x=y...
Link do wypowiedziLink
Bartłomiej Wójcik

Bartłomiej Wójcik Menadżer, Ernst &
Young Business
Advisory

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Sprowadzając kwestię sofizmatu do praktycznego przykładu (uproszczonego):

t=0

Dodajemy t po obu stronach (a co!)
2t=t

Dzielimy przez t (a co!)
2=1
Link do wypowiedziLink
Piotr Sus

Piotr Sus IS Senior Manager,
Desktop Engineering

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Uwaga!

Zdanie "Istnieją rozwiązania równania" jest zdaniem ścisłym, które można sformalizować tylko na jeden sposób.

Natomiast zdanie "równanie zostało rozwiązane przez autora zgodnie z wszelkimi zasadami matematyki, a mimo to przy sprawdzeniu wyszły głupoty" nie jest zdaniem, które jest ścisłe. Jest wiele sposobów sformalizowania go. Zależnie od sposobu jaki przyjmiemy możemy mieć inną odpowiedź.

Ja słowo "rozwiązywać" rozumiem, że istnieje ciąg wzajemnie jednoznacznych przeksztaceń, pozwalający układ równań przedstawić w postaci x=a, y=b. W takim rozumieniu nie ma przykładu, który autor wątku szuka.
Link do wypowiedziLink

konto usunięte

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Ja tam raczej zrozumialem co autor mial na mysli i mysle, ze wiem, gdzie szukac takiego przykladu, ale jeszcze nie zadalem sobie trudu zeby je znalezc:)

Ja bym szukal w rownaniach rekurencyjnych. Mianowicie mamy np. rownanie
x(n+1) = x(n)^2 + c*x(n) + d przy jakims warunku poczatkowym.

Wowczas czestym bledem jest niesprawdzenie czy granica takiego ciagu w ogole istnieje (czyli tu czy ciag jest ograniczony i od pewnego momentu monotoniczny). Student lub uczen w szkole po prostu mowi
'skoro x(n) jest zbiezny, to x(n+1) rowniez, w dodatku do tej samej granicy, nazwijmy ją x'

Stad mamy rownanie na granicach.
x = x^2 + c*x + d

ktore w zaleznosci od c i d moze miec np. 2 rozwiazania - ujemne i dodatnie. Jedno z nich sie eliminuje nakladajac w warunku poczatkowym coś, aby rozwiazanie - jesli by istnialo - byloby dodatnie. No i wychodzi jakas hipotetyczna granica.

W rzeczywistosci ciag x(n) moze byc rozbiezny (np. ze zmiennymi znakami kolejnych wyrazow). Cala zabawa polega na tym aby dobrac wspolczynniki c i d (ewentualnie ksztalt rownania rekurencyjnego), aby 'wyszlo' :)

No ale jak to zwykle bywa - wiem ze dzwonia, ale nie wiem jeszcze w ktorym kosciele:)

Powodzenia!Damian Kutyła edytował(a) ten post dnia 12.05.10 o godzinie 21:47
Link do wypowiedziLink
Rafał B.

Rafał B. dziś rano pani w
piekarni miała
wypieki na twarzy

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Właśnie nie chodzi o sofizmat, ale o matematycznie poprawne rozumowanie, którego jedynym błędem jest niesprawdzenie istnienia rozwiązania.

Poprawne rozwiązanie problemu matematycznego to:
1. Udowodnienie istnienia rozwiązania,
2. Poprawny matematycznie ciąg przekształceń, prowadzących do tego rozwiązania.

W podanym przez autora przykładzie zabrakło punktu pierwszego, natomiast punkt drugi był przeprowadzony bez zarzutu.

Może ktoś zna taki przykład - ten, który widziałem, nie był zaawansowany matematycznie.

Obiecuję, że jeśli sam na jakiś wpadnę, na pewno go tu umieszczę :)
Link do wypowiedziLink
Rafał B.

Rafał B. dziś rano pani w
piekarni miała
wypieki na twarzy

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Grzegorz Melniczak:
Tylko, że zadanie o którym tu mowa pochodzi podobno z podręcznika, więc mało prawdopodobne by był to sofizmat (chyba, że to podręcznik do logiki, i rozdział o sofistach;) ).
Ale można podejść do dyskusji z innej strony: celem jak rozumiem jest pokazanie komuś, że warto sprawdzić istnienie rozwiązania zanim się zacznie rozwiązywać, zatem można poszukać zadania które ma zerową liczbę rozwiązań takiego, że:

1) łatwo pokazać istnienie braku rozwiązań
2) próba znalezienia rozwiązania wiąże się ze żmudnymi przeliczeniami na kilka stron:) i oczywiście kończymy z tym samym wnioskiem co w (1)

Wszystko się zgadza, oprócz punktu drugiego:

2. próba znalezienia rozwiązania wiąże się z kilkoma prostymi i poprawnymi matematycznie krokami, po których dostajemy wynik. Jednak kiedy wynik podstawimy do równiania?/nierówności?/układu równań? w celu dokonania sprawdzenia, otrzymujemy sprzeczność.
Link do wypowiedziLink
Grzegorz Melniczak

Grzegorz Melniczak Have you tried
turning it off and
on again?

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Kroki może i będą poprawne matematycznie, ale jak już było wspomniane należy zwracać uwagę na założenia które się czyni po drodze. Na przykład rozważmy następujące równanie z ciągiem przekształceń
exp(ix) = -1     / ^2

exp(2ix) = 1

exp(2ix) = exp(0)

2ix = 0

x = 0
ale po podstawieniu dostajemy
exp(i*0) = 1 = -1
Problem polega na tym, że błędnie się ograniczyliśmy do przestrzeni rzeczywistej - exp(x) jest funkcją okresową na płaszczyźnie zespolonej z okresem 2i*pi, więc tak naprawdę powinniśmy dostać
x = pi + 2k*pi, gdzie k jest całkowite
Link do wypowiedziLink

konto usunięte

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Jeśli ma być proste z zakresu LO, to może tak:
(x^2 -2x -3) : (x^2 -4x +3) = 2

A bardziej na temat: log (1-x) - log (x-1) = 100Wojciech B. edytował(a) ten post dnia 14.05.10 o godzinie 19:45
Link do wypowiedziLink
Rafał B.

Rafał B. dziś rano pani w
piekarni miała
wypieki na twarzy

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Wojciech B.:
Jeśli ma być proste z zakresu LO, to może tak:
(x^2 -2x -3) : (x^2 -4x +3) = 2

O coś na tym poziomie właśnie mi chodzi :)

Tyle, że tam po drodze trzeba założyć, że x musi być różne od 1 i 3, a w rozwiązaniu wychodzi nam x=3, więc zbiór rozwiązań wychodzi pusty. Trzeba by było popełnić błąd dzielenia przez zero, a jedynym błędem, o który mi chodzi, to niewykazanie istnienia rozwiązania.
Link do wypowiedziLink
Krzysztof Łatuszyński

Krzysztof Łatuszyński probabilista,
statystyk

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Rafał Balcerski:
Wojciech B.:
Jeśli ma być proste z zakresu LO, to może tak:
(x^2 -2x -3) : (x^2 -4x +3) = 2

O coś na tym poziomie właśnie mi chodzi :)

Tyle, że tam po drodze trzeba założyć, że x musi być różne od 1 i 3, a w rozwiązaniu wychodzi nam x=3, więc zbiór rozwiązań wychodzi pusty. Trzeba by było popełnić błąd dzielenia przez zero, a jedynym błędem, o który mi chodzi, to niewykazanie istnienia rozwiązania.
No to tak, to sie nie da.
Link do wypowiedziLink
Rafał B.

Rafał B. dziś rano pani w
piekarni miała
wypieki na twarzy

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Chyba już mam.

Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniajace układ równań:

a^2+b^2+c^2 =23
a+2b+4c=22

Drugie równanie mnozymy stronami przez 2 i odejmujemy stronami od pierwszego. W efekcie uzyskujemy
a^2−2a+b^2−4b+c^2−8c+21=0,
co po skorzystaniu ze wzorów skróconego mnozenia jest równowazne zaleznosci
(a−1)^2+(b−2)^2+(c−4)^2 =0.
Stad wynika, ze a=1, b=2, c=4. Jednak bezposrednie sprawdzenie pokazuje, ze trójka ta nie spełnia danego układu równan. Układ ten nie ma zatem rozwiazan.

Przykład pochodzi stąd:
http://www.omg.edu.pl/download/zadania/omg02_2r.pdf
Link do wypowiedziLink
Krzysztof Łatuszyński

Krzysztof Łatuszyński probabilista,
statystyk

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Rafał Balcerski:
Chyba już mam.

Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniajace układ równań:

a^2+b^2+c^2 =23
a+2b+4c=22

Drugie równanie mnozymy stronami przez 2 i odejmujemy stronami od pierwszego. W efekcie uzyskujemy
a^2−2a+b^2−4b+c^2−8c+21=0,
co po skorzystaniu ze wzorów skróconego mnozenia jest równowazne zaleznosci
(a−1)^2+(b−2)^2+(c−4)^2 =0.
Stad wynika, ze a=1, b=2, c=4. Jednak bezposrednie sprawdzenie pokazuje, ze trójka ta nie spełnia danego układu równan. Układ ten nie ma zatem rozwiazan.

Przykład pochodzi stąd:
http://www.omg.edu.pl/download/zadania/omg02_2r.pdf

to nie jest poprawne rozwiazanie:

jak sie odejmuje rownanie (2) od rownania (1), to trzeba w ukladzie zostawic rownanie (2) albo (1).

to jest PODSTAWOWY blad.

zeby naswietlic absurd, bede rozwiazywac uklad rownan
(1) x=1
(2) x=3

dodajac stronami
2x=4
wiec
x=2

to jest absurd, a nie rozwiazanie.
Link do wypowiedziLink

konto usunięte

Temat: Istnienie rozwiązania a szukanie go

Rafał Balcerski:
Chyba już mam.

Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniajace układ równań:

a^2+b^2+c^2 =23
a+2b+4c=22

Drugie równanie mnozymy stronami przez 2 i odejmujemy stronami od pierwszego. W efekcie uzyskujemy
a^2−2a+b^2−4b+c^2−8c+21=0,
co po skorzystaniu ze wzorów skróconego mnozenia jest równowazne zaleznosci
(a−1)^2+(b−2)^2+(c−4)^2 =0.
Stad wynika, ze a=1, b=2, c=4. Jednak bezposrednie sprawdzenie pokazuje, ze trójka ta nie spełnia danego układu równan. Układ ten nie ma zatem rozwiazan.

Przykład pochodzi stąd:
http://www.omg.edu.pl/download/zadania/omg02_2r.pdf
Geometrycznie widac, ze nie ma rozwiazania:

pierwsze rownanie - kula w R^3 o srodku w 0 i promieniu sqrt(23) = ok. 4,79
drugie rownanie - plaszczyzna w R^3
Odleglosc plaszczyzny od srodka kuli jest ok. 4,80, wiec nieco wiecej niz promien kuli. Rozwiazania nie ma i juz. Ale przyklad fajny i haczyk fajnie ukryty:)
Link do wypowiedziLink
« Wróć do tematów
Odpowiedz

Podobne tematy


Następna dyskusja:

Szukanie rozstawienia... :)




Wyślij zaproszenie do
Anuluj