GoldenLine
Zaloguj się
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Samochód stoi tyłem do ściany, przyklejony do niej gumą do żucia. Samochód rusza i w krótkim czasie rozpędza się do prędkości 100km/h, rozciągając za sobą gumę (nieskończenie elastyczną, wytrzymałą i jednolitą). Chwilę po ruszeniu samochodu, znajdujący się na ścianie robaczek rozpoczyna podróż w jego kierunku po gumie, rozwijając predkość 1km/h (względem gumy).
Czy robaczkowi uda się kiedyś dotrzeć do celu?

Mam nadzieję, że moja twórczość poniżej rozjaśnia sytuację :)


Obrazek
Link do wypowiedziLink
Michał Jarosz

Michał Jarosz Frontend Developer &
Team Leader

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Co to znaczy "rozwijając predkość 1km/h (względem gumy)"
Względem czego dokładnie? Końca zaczepionego na ścianie? Kawałka na którym stoi w danej chwili robaczek? Jej środka ciężkości?

[edit]

Na pierwszy rzu oka wydaje się że tak.Michał Jarosz edytował(a) ten post dnia 17.07.10 o godzinie 09:36
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Michał Jarosz:

Względem kawałka na którym stoi.
Link do wypowiedziLink
Michał Jarosz

Michał Jarosz Frontend Developer &
Team Leader

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Xnżql chaxg an thzvr cbehfmn fvę m crjaą ceęqxbśpvą jmtyęqrz cbqłbżn. Chaxg eójab bqqnybal bq śpvnal v fnzbpubqh an cemlxłnq wrqmvr jmtyęqrz cbqłbżn m ceęqxbśpvą cvęćqmvrfvąg xz/u. Vz qnyrw ebonpmrx bq śpvnal, glz fmlopvrw jmtyęqrz cbqłbżn mnfhjn. Fnzbpuóq angbzvnfg wrqmvr mr fgnłą ceęqxbśpvą. Javbfrx bpmljvfgl. Pmnf qb cbyvpmravn.
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Michał Jarosz:
Xnżql chaxg an thzvr cbehfmn fvę m crjaą ceęqxbśpvą jmtyęqrz cbqłbżn. Chaxg eójab bqqnybal bq śpvnal v fnzbpubqh an cemlxłnq wrqmvr jmtyęqrz cbqłbżn m ceęqxbśpvą cvęćqmvrfvąg xz/u. Vz qnyrw ebonpmrx bq śpvnal, glz fmlopvrw jmtyęqrz cbqłbżn mnfhjn. Fnzbpuóq angbzvnfg wrqmvr mr fgnłą ceęqxbśpvą. Javbfrx bpmljvfgl. Pmnf qb cbyvpmravn.

Sam fakt, że robak porusza się coraz szybciej względem ziemi, a samochód ze stałą prędkością nie wystarcza do wyciągnięcia tego wniosku. Można łatwo podać przykład rosnącej funkcji (prędkości robaka od czasu) dla której nie dotrze on nigdy do celu.
Oczywiście jeśli policzycz czas i wyjdzie skończony, to wystarczy.
Link do wypowiedziLink
Michał Jarosz

Michał Jarosz Frontend Developer &
Team Leader

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Hehe.. Nie taka banalna tutaj matematyka jest. Intuicja swoje, ale opis ruchu ślimaka jakoś umyka. :D
Link do wypowiedziLink

konto usunięte

Temat: Wyścig robaka z samochodem

(...)Ten post został edytowany przez Autora dnia 22.03.15 o godzinie 19:50
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Paweł P.:
Przy założeniu natomiast, że guma w momencie startu posiada już pewną długość (jest odcinkiem) wówczas zadanie mogłoby mieć rozwiązanie. Jeżeli Jeżeli guma rozciąga się jednorodnie, a robaczek w momencie startu znajduje się w odległości mniejszej niż 1/100 długości gumy od samochodu - wówczas powinien go doścignąć

Te informacje zawarte są w zdaniu Chwilę po ruszeniu samochodu, znajdujący się na ścianie robaczek.
A zatem: guma w momencie startu robala ma już niezerową długość, zaś robak znajduje się w odległości 0 od ściany.
Możemy przyjąć, że sam robak jest punktem.
Link do wypowiedziLink
Michał Jarosz

Michał Jarosz Frontend Developer &
Team Leader

Temat: Wyścig robaka z samochodem

To trochę inaczej (bo równania różniczkowe wyszły mi jakieś dziwne - drugi rok studiów dawno był).

Zeby dogonić samochód, robaczek musi względem podłoża przekroczyć prędkość 100km/h. Żeby tak się stało musi dotrzeć (i przekroczyć) do punktu położonego w 99/100 długości gumy. Punkt ten bowiem porusza się względem podłoża z prędkością 99km/h. Pytanie, czy robaczek jest w stanie do tego punktu dotrzeć.

Zeby dogonić punkt położony w 99/100 długości gumy, robaczek musi względem podłoża przekroczyć prędkość 99km/h. Żeby tak się stało musi dotrzeć (i przekroczyć) do punktu położonego w 98/100 długości gumy. Punkt ten bowiem porusza się względem podłoża z prędkością 98km/h. Pytanie, czy robaczek jest w stanie do tego punktu dotrzeć.

...

Zeby dogonić punkt położony w 1/100 długości gumy, robaczek musi względem podłoża przekroczyć prędkość 1km/h. Żeby tak się stało wystarczy że odejdzie na niezerową odległość od ściany.
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Michał Jarosz:

Tak, to poprawne rozwiązanie :)

Aby wyznaczyć dokładny czas, możemy popatrzeć na to jaki procent gumy pokonuje robak w danym momencie. W chwili t guma ma długość t*100km/h, a więc prędkość chwilowa robaka to 1/(100*t) długości gumy. Całka oznaczona z tego to 1/100(ln T - ln t0), gdzie t0 jest chwilą po jakiej robak startuje. Interesuje nas T, dla którego wartość tej całki wyniesie 1 (cała długość gumy), mamy zatem ln(T/t0) = 100, jeśli się nie pomyliłem.

Jeśli zatem robak wystartuje np. po sekundzie, to cała podróż zajmie mu e^100 sekund, t.j. ok. 10^36 lat. Jest w tym moim zdaniem pewnien wymiar filozoficzny - jednak ta niewyobrażalnie długa i pozornie beznadziejna pielgrzymka pozwoli mu kiedyś osiągnąć zamierzony cel, jeśli będzie wytrwale szedł :)
Link do wypowiedziLink
Michał Jarosz

Michał Jarosz Frontend Developer &
Team Leader

Temat: Wyścig robaka z samochodem

E tam. Benzyna się skończy wcześniej. ;)

Sam wymyśliłeś zagadkę?
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Michał Jarosz:
Sam wymyśliłeś zagadkę?

Gdzieś ją usłyszałem. Moje pierwsze rozwiązanie było podobne do Twojego, potem siadłem, żeby to dokładnie przeliczyć :)
Link do wypowiedziLink

konto usunięte

Temat: Wyścig robaka z samochodem

a patrząc na sprawę z innej perspektywy (czyli nie osoby po studiach matematycznych):
jaka by nie była guma wytrzymała to jednak ma swój punkt graniczny, kiedy zerwie się most łączący robaczka z punktem docelowym, czyli autem, a zanim do tego dojdzie (o ile się nie mylę) most ten zacznie się robić coraz chudszy, a robaczek może tracić przyczepność a tym samym równowagę (chyba, że jest mu jeden pies czy idzie górą czy dołem owego mostu) co z kolei prowadzi do pytania o zasadność określenia momentu startu robaczka
Link do wypowiedziLink
Andrzej O.

Andrzej O. Haters gonna hate,
ainters gonna aint

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Krzysztof Grygiel:
Michał Jarosz:

Tak, to poprawne rozwiązanie :)

Aby wyznaczyć dokładny czas, możemy popatrzeć na to jaki procent gumy pokonuje robak w danym momencie. W chwili t guma ma długość t*100km/h, a więc prędkość chwilowa robaka to 1/(100*t) długości gumy.
Nie wiem skąd wzięła Ci się ta prędkość chwilowa - ona zależy od miejsca, w którym jest robak.

Ja to widzę tak - mamy ścianę, czyli punkt A i samochód, czyli punkt B, pomiędzy nimi idealnie rozciągliwa guma. W każdym momencie w 1/2 odcinka punkt na gumie porusza się 50km/h względem podłoża. Punkty 1/4 i 3/4 odpowiednio 25 i 75km/h. Gdy guma ma 2cm to puntk 1cm od ściany porusza się 50kmh, pół centymetra od ściany 25km/h i jest to chyba za szybko jak na robaczka. Pierwszą rzecz, którą można policzyć to w którym momencie robaczek w ogóle zacznie iść po gumie, a nie ona uciekać spod jego odnóży (chociaż mamy tu problem nietrywialny :) - jeśli to robaczek to jego krok ma długość i możemy liczyć różnicę prędkości dla tej długości, jeśli to ślimak to nie ma minimalnej długości kroku i trzeba liczyć prędkość w punkcie)
Drugą rzecz jaką możemy policzyć to kiedy prędkość w danym punkcie (chodzi nam tym razem o punkt 100) będzie mniejsza od jego prędkości poruszania się.
Tyle że to byłoby zadanie matematyczno-fizyczne, a nie zagadka.

Ale to jest zagadka z pytaniem - czy robaczek dojdzie do samochodu?
Odpowiedź - tak, dojdzie, bo w granicy zapewne prędkość w punkcie 100 to 0.
Link do wypowiedziLink
Andrzej O.

Andrzej O. Haters gonna hate,
ainters gonna aint

Temat: Wyścig robaka z samochodem

zrobiłem do tego małe, nieskomplikowane przekształcenia, bez całkowania :) :

L, długość gumy w danym momencie
L-k, długość gumy minus długość kroku robaczka
Vs, prędkość samochodu
Vr, prędkość robaczka

i interesuje nas moment, w którym różnica prędkości między punktem L a L-k jest mniejsza niż prędkość robaczka, czyli gdy zrobienie ostatniego kroku jest szybsze niż w tym samym czasie rozciąganie gumy:

dla L, Vs
dla L-k, Vs*(L-k)/L
Vs - Vs(L-k)L > Vr
z tego mamy:
L > Vs*k / Vr

jeśli wyobrazimy sobie robaczka jako koło zębate, gdzie odległość między zębami wynosi 1mm, a posuwa się z prędkością liniową 4mm/s, prędkość samochdu zaokrąglimy do 30m/s to już dla gumy o długości 7500mm koło jest w stanie zrobić ostatni milimetr szybciej niż rozciąga się guma.
Z tym, że w czasie gdy robaczek zrobi ten dystans samochód będzie już 60m od ściany.
Nie chce nawet mi się wymyślać ile czasu zajmie robaczkowi dogonienie samochodu, bo wszystko tutaj jest w prędkościach względem ziemi - obliczenie całego czasu przemieszczania się wymaga składania ruchu robaczka i prędkości przesuwania się punktu na gumie, która jest zmienna po każdym kroku w zależności od miejsca na gumie i jej rozciągnięcia.
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Andrzej O.:
Nie wiem skąd wzięła Ci się ta prędkość chwilowa - ona zależy od miejsca, w którym jest robak.

Mowa o prędkości względem gumy (dokładnie: punktu na gumie, w którym jest robak), a ta jest stała i wynosi 1km/h. To rozwiązanie polega na wyznaczeniu funkcji, która określa procent przebytej części gumy względem czasu. Pochodna z tej funkcji (to co nazwałem prędkością chwilową) wynosi 1/(100*t), a dalej j.w.
Oczywiście przyjąłem tu, że robak jest punktem i posuwa się ciągłym ruchem (tak jak samochód po szosie). Można to kwestionować, ale myślę, że nikt nie ma wątpliwości ile fizycznego sensu jest w tym zadaniu :)
Link do wypowiedziLink
Andrzej O.

Andrzej O. Haters gonna hate,
ainters gonna aint

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Krzysztof Grygiel:
Andrzej O.:
Nie wiem skąd wzięła Ci się ta prędkość chwilowa - ona zależy od miejsca, w którym jest robak.

Mowa o prędkości względem gumy (dokładnie: punktu na gumie, w którym jest robak), a ta jest stała i wynosi 1km/h.
to mi musisz wytłumaczyć dlaczego prędkość chwilowa robaczka to:
Vr / t* Vs (prędkość robaczka przez czas razy prędkość samochodu) bo nie wiem :)Andrzej O. edytował(a) ten post dnia 20.07.10 o godzinie 09:49
Link do wypowiedziLink
Krzysztof G.

Krzysztof G. Manager

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Andrzej O.:
to mi musisz wytłumaczyć dlaczego prędkość chwilowa robaczka to:
Vr / t* Vs (prędkość robaczka przez czas razy prędkość samochodu) bo nie wiem :)
używając Twoich oznaczeń:
prędkość robaka: Vr
długość gumy w chwli t: (t*Vs).

Zatem procent długości gumy jaki robak pokonuje na jednostkę czasu w danej chwili, to Vr/(t*Vs).
Przykładowo: po 2h guma ma długość 200km, więc robak pokonuje (1km/h)/(2h*100km/h) = 1/200 drogi na godzinę.
Link do wypowiedziLink
Andrzej O.

Andrzej O. Haters gonna hate,
ainters gonna aint

Temat: Wyścig robaka z samochodem

nie rozumiem.

1/200h to jego prędkość w chwili t?
Link do wypowiedziLink
Michał Jarosz

Michał Jarosz Frontend Developer &
Team Leader

Temat: Wyścig robaka z samochodem

Gdyby po dwóch godzinach samochód się zatrzymał, guma miałaby 200km. Robak pokononywałby od tego momentu 1/200 tego dystansu na godzinę. Niestety samochód nie staje, więc ta prędkość stale się zmienia.
Link do wypowiedziLink
« Wróć do tematów
Odpowiedz

Podobne tematy


Następna dyskusja:

Wyścig




Wyślij zaproszenie do
Anuluj