пропозиції роботи
Jan Z. Liquid Studio
Krzysztof
Łatuszyński
probabilista,
statystyk
Temat: Operator liniowy.
to jest operator, kroty "dziala" tak jak funkcja liniowa postacif(x) = ax
dla tej funcji f prawdziwe sa rownosci
(1) f(x+y) = f(x) + f(y)
(2) f(cx) = cf(x)
prawda?
dla operatora ma byc tak samo. Roznica miedzy funkcja liniowa a operatorem liniowym jest taka, ze do funkcji "wrzuca sie" liczby i dostaje sie liczbe jako wynik dzialania tej funkcji. Np. dla f powyzej, jezeli a=2, to wzor funcji jest
f(x) = 2x
i jak wstawie do funkcji 5, to dostane 10.
Tymczasem do operatorow nie wrzuca sie liczb, tylko inne obiekty, bardziej skomlikowane, np. funkcje. Ale operator ma spelniac te same dwa rownania powyzej, czyli, jesli przez P oznacze taki operator i on bedzie dzialal na funkcjach, to ten operator powinien spelniac rownania
(1) P(f+g) = P(f) + P(g)
(2) P(cf) = cP(f)
gdzie f i g to sa funkcje.
przyklad operatora liniowego:
jesli operator P to jest mnozenie funkcji przez 3, to
P(f) = 3f
jesli za f wstawie f(x) = 2x, to
P(f) = 3f
czyli dostaje funkcje, nazwijmy ja g, ktora jest g(x) = 3f(x), czyli
g(x) = 6x.
Latwo sprawdzic, ze ten operator P(f) = 3f jest liniowy, czyli spelnia te dwa rownani powyzej.
przyklad operatora nieliniowego:
jesli operator P podnosi funkcje do kwadratu, to jest nieliniowy, bo np.
biorac f(x) = 2x
P(f) = f^2
czyli operator zwrocil funkcje g(x) = f^2(x) = 4x^2.
to sprawdzmy czy jest spelnione rownanie (2):
Lewa: P(cf) = c^2 f^2
Prawa: cP(f) = c f^2
czyli nie sa sobie rowne i ten operator nie jest liniowy.
Bartłomiej
Ząbecki
analityk ds.
informacji
zarządczej
Temat: Operator liniowy.
Cześć,Operator liniowy to odwzorowanie działające tak jak funkcja liniowa F(x)=ax spełniające warunki:
F(x+y) = F(x)+F(y) -ten warunek nazywamy addytywnością
F(cx) = cF(x)-ten warunek nazywamy jednorodność
gdzie:
F-operator linowy, c-dowolna stała rzeczywista, x,y -jakieś obiekty
(bo operator działa na przestrzeniach liniowych, takich strukturach algebraicznych)
np: całka nieoznaczona Riemanna jest operatorem liniowym
bo c*∫f(x)dx=∫c*f(x)dx oraz
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dz+∫g(x)dx
np. pochodna funkcji jednej zmiennej
c*f'(x)=(c*f(x))' - jednorodność
(f(x)+g(x))'=f'(x))*g'(x)-addytywność
np. funkcja liniowa f(x)=2x+5 nie jest operatorem liniowym
c(2x+5)=2cx+5x zaś (c*2x)+5=2cx+5 (warunek jednorodności nie jest spełniony)Bartłomiej Ząbecki edytował(a) ten post dnia 08.02.11 o godzinie 21:47
Jan Z. Liquid Studio
Temat: Operator liniowy.
OK, to już rozumiem, czyli operator liniowy przestrzeni (jutro mam algebre liniowa, zaliczenie ;] ) odwzorowuje jedną przestrzeń w drugą, mam rację? Próbuję to zrozumieć, żeby mieć podstawy do rozwiązywania zadań, a mianowicie, do sprawdzania czy dany operator jest liniowy, albo do wyznaczania macierzy operatorów liniowych.
Marek
Żelazny
Dyrektor handlowy,
Baterpol S.A.
Temat: Operator liniowy.
To, że odwzorowuje jedną przestrzeń w drugą, można powiedzieć o każdym operatorze. Operator liniowy, czyli spełniający warunki o których pisali przedmówcy, jest po prostu dosyć "porządnym" operatorem :).
Jan Z. Liquid Studio
Temat: Operator liniowy.
A powiedzcie mi jeszcze taką rzecz. Czy znając pewną macierz, możemy określić, czy jest to macierz operatora liniowego czy też nie?edit: I dodatkowo wiemy, że wyznacznik tej macierzy jest różny od zera?Jan Z. edytował(a) ten post dnia 09.02.11 o godzinie 17:34
Bartłomiej
Ząbecki
analityk ds.
informacji
zarządczej
Temat: Operator liniowy.
Cześć,odpowiem na końcówkę twojego pytania. Jeśli operator liniowy jest różnowartościowy to wyznacznik macierzy tego przekształcenia(niezależnie od wyboru bazy ,jest różny od zera).
Marek
Żelazny
Dyrektor handlowy,
Baterpol S.A.
Temat: Operator liniowy.
A odpowiadając na pierwszą część pytania: jeśli X i Y są przestrzeniami liniowymi o bazach odpowiednio B1 i B2 oraz dimX=n i dimY=m, to każdej macierzy o wymiarach mxn o wyrazach rzeczywistych, odpowiada operator liniowy.Czyli znając pewną macierz, możemy powiedzieć, że jest to macierz pewnego operatora liniowego.
Krzysztof
Łatuszyński
probabilista,
statystyk
Temat: Operator liniowy.
Jan Z.:
A powiedzcie mi jeszcze taką rzecz. Czy znając pewną macierz, możemy określić, czy jest to macierz operatora liniowego czy też nie?
edit: I dodatkowo wiemy, że wyznacznik tej macierzy jest różny od zera?Jan Z. edytował(a) ten post dnia 09.02.11 o godzinie 17:34
Tak, macierz, powiedzmy M, jest zawsze operatorem liniowym, po prostu dla wektorow v oraz u mamy
M(v+u) = Mv + Mu
a dla dowolnej liczby c i wektora v
M(cv) = Mv
Dodatkowo, jesli macierz jest kwadratowa powiedzmy n x n, i jej wyznacznik jest niezerowy, to M jest przeksztalceniem liniowym R^n -> R^n (a nie na cos mniejszego...)
Grzegorz
Melniczak
Have you tried
turning it off and
on again?
Temat: Operator liniowy.
Marek Żelazny:
A odpowiadając na pierwszą część pytania: jeśli X i Y są przestrzeniami liniowymi o bazach odpowiednio B1 i B2 oraz dimX=n i dimY=m, to każdej macierzy o wymiarach mxn o wyrazach rzeczywistych, odpowiada operator liniowy.
To co napisałeś jest prawdziwe dla przestrzeni liniowych nad dowolnym ciałem K, nie tylko liczb rzeczywistych.
Chyba pozostanie to prawdą nawet dla przestrzeni linowych nad pierścieniem, chociaż tam nie zawsze będzie istniał operator odwrotny dla bijekcji.
konto usunięte
Temat: Operator liniowy.
Grzegorz Melniczak:
To co napisałeś jest prawdziwe dla przestrzeni liniowych nad dowolnym ciałem K, nie tylko liczb rzeczywistych.
Chyba pozostanie to prawdą nawet dla przestrzeni linowych nad pierścieniem, chociaż tam nie zawsze będzie istniał operator odwrotny dla bijekcji.
W przypadku ogólnych pierścieni rozpatruje się moduły wolne. Cała teoria działa w bardzo podobny sposób. Odwrotność izomorfizmu R-modułów, też jest izomorfizmem R-modułów.
Następna dyskusja:
