GoldenLine
Zaloguj się
Bartosz Wasilewski

Bartosz Wasilewski Owner @
torerosolutions.pl

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Witajcie,

W zadaniach z teorii portfela na etapie II często pojawia się problem optymalizacyjny dot. portfela o minimalnej wariancji składającego się z trzech aktywów (znajdź portfel o minimalnej wariancji z trzech aktywów, przy zadanej stopie zwrotu i sumie udziałów w portfelu =1)

Wydaje mi się, że poprawne rozwiązanie można uzyskać tylko stosując mnożniki Lagrange'a, ale to prowadzi do układu 5 równań i 5 niewiadomych i głupia pomyłka przy obliczeniach niemal gwarantowana...

Czy ktoś z Was orientuje się czy KNF akceptuje jakieś uproszczone rozwiązania? Jak to można łatwiej rozwiązać? :)

Dzięki!
Link do wypowiedziLink
Marcin Reszka

Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny
nr 335, prowadzę
serwisy edukacyjne
...

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Są inne sposoby, ale ten z tymi współczynnikami jest najszybszy. Kiedyś próbowałem macierzami, ale to było jeszcze bardziej długotrwałe.

Poniżej prezentuje w skrócie jak rozwiązuje zadanie stosując mnożniki Lagrange'a:
II etap. Zadanie 5 listopad 2006.
punkty 4-6:
L=25*wa^2 + 21*wb^2 + 28*wc^2 + 30*wa*wb + 34*wa*wc + 18*wb*wc + l1*(9*wa + 11*wb + 13*wc + 6*wf - 12) + l2*(wa + wb + wc + wf - 1)
podstawienie:
wf = 1 - wa - wb - wc
wówczas:
L = 25*wa^2 + 21*wb^2 + 28*wc^2 + 30*wa*wb + 34*wa*wc + 18*wb*wc + l1*(3*wa + 5*wb + 7*wc - 6)
pochodne:
dL/dwa = 50*wa + 30*wb + 34*wc + 3*l1 = 0
dL/dwb = 42*wb + 30*wa + 18*wc + 5*l1 = 0
dL/dwc = 56*wc + 34*wa + 18*wb + 7*l1 = 0
dL/dl1 = 3*wa +5*wb + 7*wc - 6 = 0
otrzymujemy układ 4 równań z 4 niewiadomymi. po rozwiązaniu mamy:
wa=-0,57
wb=0,61
wc=0,66
wf=0,3

Pozdrawiam
Marcin Reszka
Doradca Inwestycyjny nr 335
http://reszka.edu.pl
Link do wypowiedziLink
Bartosz Wasilewski

Bartosz Wasilewski Owner @
torerosolutions.pl

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Dzięki!

No tak, macierze raczej nie zmniejszą prawdopodobieństwa pomyłki :)

Co do podstawiania wf - wydaje mi się, że równie dobrze możemy zrobić sześć pochodnych i zostawić sobie układ sześciu równań i sześciu niewiadomych (z L2 i wf). W sytuacji w której czwartym aktywem nie jest Rf, tylko jakiś ryzykowny papier, to więcej problemu niż pożytku z tym podstawieniem (bo wtedy w grę wchodzi jeszcze wariancja tego czwartego aktywa) - np. w maju 2012 było zadanie z trzema ryzykownymi aktywami (bez Rf), więc z tym podstawianiem radzę uważać :)
Link do wypowiedziLink
Adam Strumień

Adam Strumień makler p. w. z
uprawnieniami do
wykonywania
czynności dor...

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Więc jak najprościej rozwiązać to zadanie - z maja 2012?
Link do wypowiedziLink
Marcin Reszka

Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny
nr 335, prowadzę
serwisy edukacyjne
...

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Adam S.:
Więc jak najprościej rozwiązać to zadanie - z maja 2012?

Tam można zrobić bez mnożników Lagrange'a.

Obliczamy udziały akcji w portfelu o minimalnym ryzyku i oczekiwanej stopie zwrotu 15 %:

Ograniczenia:
w_B+ w_C+w_D=1
12,4 w_B+ 15,6 w_C+18,8 w_D=15
To:
w_C=0,8125-2 w_D
w_B=0,1875+w_D
Podstawiamy te wartości do wzoru na wariancje portfela: w_B^2*S(B)^2+ w_C^2*S(C)^2+w_D^2*S(D)^2+ 2*[w_B*w_C*cov(B,C)+ w_B*w_D*cov(B,D)+w_C*w_D*cov(C,D)] >>> minimalna var

Otrzymujemy: -237,625 w_D+378 w_D^2+⋯>>> minimalna var
Wyznaczamy pochodną: 2*378 w_D=237,625
To :
w_D=0,314318783
w_C=0,183862434
w_B=0,501818783

Powodzenia w sobotę !!!

Pozdrawiam
Marcin Reszka
Doradca Inwestycyjny nr 335
http://reszka.edu.plTen post został edytowany przez Autora dnia 16.05.14 o godzinie 02:17
Link do wypowiedziLink
Bartosz Wasilewski

Bartosz Wasilewski Owner @
torerosolutions.pl

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Ciekawy pomysł!

rozumiem, że wartości w_b i w_c dobieramy tak, aby w obu równaniach 0=0. (W takim przypadku w_b=0,6 nie równoważy stopy zwrotu. Chyba chodziło o w_b=0,1875+w_d?)

Problem w tym, że par takich wartości w_b i w_c jest dużo...

Skąd wiadomo, które wybrać? A może nie ma to znaczenia?Ten post został edytowany przez Autora dnia 15.05.14 o godzinie 15:52
Link do wypowiedziLink
Marcin Reszka

Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny
nr 335, prowadzę
serwisy edukacyjne
...

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Faktycznie zrobiłem błąd w wyznaczaniu udziału B. Zaraz edytuje powyższe i poprawię.
Powinno być: W_B = 0,1875 + W_D

Nie bardzo rozumiem pytanie o pary.

W_B - to udział akcji B w takim portfelu. Te ograniczenia to są udziały - zsumowane muszą wynosić 1 i stopa zwrotu - wyznaczone udziały muszą dawać stopę zwrotu 15.

Oczywiście kowariancje obliczyłem wcześniej wzorem cov(i,j)=B_i*B_j*var portfela rynkowego

cov(B,C)=0,8*1,2*15^2=216
cov(B,D)=0,8*1,6*15^2=288
cov(C,D)=1,2*1,6*15^2=432

Pierwszą część zadania 5 z listopada 2006 też zrobiłem takim sposobem.

Pozdrawiam
Marcin Reszka
Doradca Inwestycyjny nr 335
http://reszka.edu.plTen post został edytowany przez Autora dnia 15.05.14 o godzinie 16:30
Link do wypowiedziLink
Bartosz Wasilewski

Bartosz Wasilewski Owner @
torerosolutions.pl

Temat: Mnożniki Lagrange'a

No tak, ale stopę zwrotu 15 mogą dawać również np. udziały:

wb=1,5+wd
wc=-0,23077-2wd.

takich par jak (1,5;-0,23077) czy (0,1275;0,8125) jest nieskończenie (?) wiele...
Link do wypowiedziLink
Marcin Reszka

Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny
nr 335, prowadzę
serwisy edukacyjne
...

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Trzeba dopasować trzy rzeczy:
- udziały łączne wynoszą jeden,
- musi być stopa zwrotu 15%
- musi być minimalna wariancja (dlatego podstawiamy pod wzór do wariancji)

i 4: nie zrobimy błędu w obliczeniach:)

Bartosz W.:
No tak, ale stopę zwrotu 15 mogą dawać również np. udziały:

wb=1,5+wd
wc=-0,23077-2wd.

takich par jak (1,5;-0,23077) czy (0,1275;0,8125) jest nieskończenie (?) wiele...
Link do wypowiedziLink
Bartosz Wasilewski

Bartosz Wasilewski Owner @
torerosolutions.pl

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Być może punkt 4 jest tutaj kluczowy ;)
Niemniej, wydaje mi się, że kwestię minimalizacji wariancji (który zestaw spełnia ten warunek) sprawdzamy dopiero na etapie obliczania pochodnej po w_d... wcześniej, przy ustalaniu ułamków nie jesteśmy w stanie tego sprawdzić.

Hmm dzięki za pomoc, pewnie Twój sposób jest fajnym uproszczeniem oszczędzającym dużo cennego czasu na egzaminie i pewnie gdybym podumał to jakoś bym to ogarnął :) Tymczasem, ponieważ czasu do egzaminu zaczynam liczyć w godzinach, w razie czego przycisną poczciwym Lagrange'm ;) a do tematu wrócę w przypadku ewentualnej porażki w sobotę ;)
Link do wypowiedziLink
Marcin Reszka

Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny
nr 335, prowadzę
serwisy edukacyjne
...

Temat: Mnożniki Lagrange'a

Żebyśmy się dobrze zrozumieli - te ułamki z ograniczeń podstawiamy tak do tego poniższego wzoru, aby mieć tam tylko jedną niewiadomą:

w_B^2*S(B)^2+ w_C^2*S(C)^2+w_D^2*S(D)^2+ 2*[w_B*w_C*cov(B,C)+ w_B*w_D*cov(B,D)+w_C*w_D*cov(C,D)] >>> minimalna var

Jeśli podstawimy ograniczenia to w pierwszej kolejności obliczymy Udział D (przy pomocy pochodnej).

Pozdrawiam
MarcinTen post został edytowany przez Autora dnia 15.05.14 o godzinie 16:53
Link do wypowiedziLink
« Wróć do tematów
Odpowiedz



Wyślij zaproszenie do
Anuluj